01背包问题

有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。

第 i 件物品的体积是 v_i，价值是 w_i。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数N，V用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。

接下来有 N 行，每行两个整数 v_i,w_i，用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积和价值。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0<N,V≤10000≤1000
0<vi,wi≤1000

「0-1 背包」是较为简单的动态规划问题，也是其余背包问题的基础。

动态规划是不断决策求最优解的过程，「0-1 背包」即是不断对第 i 个物品的做出决策，「0-1」正好代表不选与选两种决定。

思路

（1）状态 f[i][j] 定义：前 i 个物品，背包容量 j 下的最优解（最大价值）：当前的状态依赖于之前的状态，可以理解为从初始状态 f[0][0] = 0开始决策，有 N 件物品，则需要 N 次决 策，每一次对第 i 件物品的决策，状态 f[i][j]不断由之前的状态更新而来。

（2）当前背包容量不够 （j < v[i]），没得选，因此前 i个物品最优解即为前 i−1 个物品最优解：对应代码: f[i][j] = f[i - 1][j] 。

（3）当前背包容量够，可以选，因此需要决策选与不选第 i个物品：

选： f[i][j] = f[i - 1][j - v[i]] + w[i]。

不选： f[i][j] = f[i - 1][j] 。

我们的决策是如何取到最大价值，因此以上两种情况取 max() 。

代码

#include <iostream>

using namespace std;
const int N = 1e3 + 5;

int v[N], w[N];
int n, m;
int f[N][N];

int main()
{
  cin >> n >> m;
  for(int i = 1;i <= n; i++)
    cin >> v[i] >> w[i];
  
  for(int i = 1; i <= n; i++)
      for(int j = 0; j <= m; j++)
      {
        f[i][j] = f[i - 1][j];
        if( j >= v[i])
          f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);
      }
  cout << f[n][m] << endl;
  return 0;
}